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​SUZURIにてグッズ販売を開始しました。

過去の最難関問題を分野別に並べています。
場合の数・論理  の性質  規則性
文章題 速さ 平面図形 立体図形 作図
場合の数
文章題
平面図形
速さ
規則性
立体図形
数の性質
作図
数の性質

連続する整数の積とパスカルの三角形の問題です。

a×bをある数で割ると三角数(2次元)

a×b×cをある数で割ると三角すい数(3次元)

a×b×c×dをある数で割ると五胞体数(4次元)

長大です。

単位分数に分解する式の個数を,分母の素因数分解から求める方法を,考察・証明する問題です。

​範囲から総当たりで探すよくある手法とは全く異なります。

単位分数に分解する式の個数を,分母の素因数分解から求める方法を,考察・証明する問題の第2弾です。

​範囲から総当たりで探すよくある手法とは全く異なります。

単位分数に分解する式の個数を,分母の素因数分解から求める方法を,考察・証明する問題の,2023版です。

​範囲から総当たりで探すよくある手法とは全く異なります

単位分数に分解する式の個数を,分母の素因数分解から求める方法を,考察・証明する問題の,2024版です。

​範囲から総当たりで探すよくある手法とは全く異なります

N進法の小数を用いて,すべての分数(有理数)を有限小数で表す方法を考える問題です。単元研究「N進法の整数と小数」の最終部分をまとめたものです。

すべての分数を有限小数で表す.png

受験算数界隈でたまに見かける「鳩の巣原理」「ディリクレの部屋割り論法」を利用した数の性質の問題です。

継子立てについて,成立する条件と理由を説明する問題です。

下のような,桁を入れかえる一般的な計算式を考察する問題です。

3桁の整数abcが(a-b+c)の倍数となる場合についての問題です。

開成中・平成17年のN進法の問題の設定を変えて,N進法とは異なる位取り記数法を模索する問題にしました。

開成中・平成17年の問題の設定を変えて,N進法とは異なる位取りを展開する問題の第2弾です。

10進法と8進法が混ざり合った問題です。

​下の図のような天秤でもれなく整数グラムを量るために必要な分銅に関する問題です。

おもりのつり合いとN進法の問題を一般性の下に扱おう,という問題です。

いくつかの数字の並びを指定したN進法の整数について,残りの位の埋まり方を考える問題です。

N進数と多角数の関係について考える問題です。

異なるN進法で同一の数表現がどのような値を意味するのか,についての問題です。

フェルマーの小定理を証明する問題です。

2021の開成中入試問題のように,分数と小数,特に循環小数でよく出題される無限級数の問題を,買い物のポイントという設定にしています。

整数を,連続するn個の整数に和分解できる場合の,n以外の個数に関する問題です。

連続する奇数の和に関する問題です。

連続奇数の和.png

整数を連続する整数の和に分解する問題はよくありますが,こちらは奇数か偶数の和に分解する問題です。

​整数の各位の数の和と積の大小関係に関する問題は,関東・関西ともに最難関校では外せない問題です。深いところに切り込む必要性を感じて作った問題です。甲陽学院の改題を導入問題として添えています。

和と積の大小関係.png

和と積の大小関係に関わる問題です。

式の答えの各位の数の和を求める問題です。秀逸な2020年甲陽学院2日目大問1(1)に着想を得ました。

11…11を2個掛け合わせてできる積に関する問題です。

5列に自然数をならべた数表において素数の配置を考える問題です。

73の倍数の見分け方を与えたうえで,分母73の分数について考える問題です。

19の倍数で以下の形となる最小の整数を求める問題です。

17の倍数と7の倍数の見分け方とその組み合わせについて考える問題です。

2023=7×17×17ですが,7分の1も17分の1も循環小数として大変きれいな性質を持っています。この問題では,17分の1を利用します。

2024=8×11×23です。11も23も

9999999999999999999999の約数であることを利用する問題です。

2025=81×25であることを利用した,循環小数の問題です。

下のような分数列の和に関する問題です。

分母が​連続する整数の,3つの単位分数の和に関する問題です。

2024で割ると917余る三角数を求める方法について考えていく問題です。

累乗によってできる数をほかの数で割った場合の余りについて考える問題です。

色々な累乗数を素数11で割ったときの剰余に関する問題です。

もとの数と累乗の回数を色々と変える(つまりaのn乗)を

7や11で割った余りについて考える問題です。

2,4,8,16,64,…という2の累乗数の積の下2桁について考える問題です。

連続する整数の積が2で割れる回数についての問題です。

剰余の性質に注目をして,不定方程式の答えを探す問題です。

等比数列をあるきまった数で割ったときの剰余について,くり返しが起こる「まで」について考える問題です。

等比数列をある数で割った余りの数列についての問題です。

等比数列について,剰余にかかわる性質を色々と考える問題です。

直角三角形の3辺の整数比を無数に算出する方法を考える問題です。

最大公約数12・最小公倍数360になる整数の組合せについていろいろと考えていく問題です。

3個の整数の公約数・公倍数に関する応用問題です。

3個の整数の公約数・公倍数に関する応用問題です。

2012年に開成中で「2番目に大きい約数」に関する問題が出題されました。いろいろと条件を変えると大いに広がりができる主題ですので,変奏してみました。

2番目に大きい約数・1.png
2番目に大きい約数・2.png
2番目に大きい約数・3.png

​2番目はともかく3番目にするとかなり複雑になります。じっくり解きたい子向けです。

3番目に大きい約数.png

灘中2002年2日目の問題を少しずついじっていこう,という問題の第2弾です。

約数と,約数の逆数に関する問題です。

素因数分解と素数の個数に関してあれこれと考える問題です。

素数の個数と素因数分解についていろいろと考える問題です。「素数の個数と素因数分解・1」を先に解いておくことをお薦めします。

整数の列を単位分数の列に変換する問題です。

単位分数の通分について,簡潔な説明を行う問題です。

単位分数への分解を,逆数に絡めた問題です。

一の位が等しいいくつかの整数の積の下2桁に関する問題です。

2023を含めて,積の下2桁が23になる整数の組みあわせについて考える問題です。

カードを置き換えていく問題です。倍数や素因数をそこそこハードに考えることが求められます。

カードの置き換え操作に関する低学年用の問題を高学年向けに作り替えたところ,過去に公開した問題と設定が完全にかぶってしまった問題…もったいないので公開します。

小正方形を対角線が通過する問題で。何番目に度の小正方形を通過するかを問います。

​対角線が通過する正方形や立方体の個数の問題は,本質的には分数列の問題でしょう,という考えに基づいて作った応用問題です。分数列の考えを理解するための導入問題をつけました。

レーザー光線と三角柱.png

デジタル数字の2020を並べたマス目に引いた対角線が通過する正方形と長方形の個数に関する問題です。

対角線とは少しずれた直線が通過する小正方形の個数の問題です。

球の反射の問題と,長方形の対角線が通過する小正方形の個数に関するいわゆる「レーザー光線」の問題の融合問題です。

真分数である既約分数の個数に関する問題です。

例えばある分母の真分数である既約分数が14個ということはあり得ない,という問題です。

​等分割したいろいろな円=分数列を自由に重ね合わせる問題です。

素因数をたし算する問題です。

素因数の和.png

部分分数分解の応用問題です。

部分分数分解01.png
部分分数分解・2.png

​1/2020=1/4×101×5=1/404-1/505を利用した,部分分数分解の問題です。

2020=2×2×5×101であることから,分母を4数の積でとらえる部分分数分解とからめてみました。

2024と部分分数分解の問題です。

​分子が1の分数を単位分数といいますが,分子が2,3についても条件に加えてみた問題です。

2020と単位分数の問題です。

分数を和分解する問題です。

分数の和.png

2023以降の年号から帯分数,仮分数を作る問題です。

同じ曜日なら7で割った余りが同じ,ということを利用する問題です。

カレンダーと合同算術.png

カレンダーの各週から日にちを1つずつ選んで和と差を考える問題です。剰余類の発想を利用します。

カレンダーの各週から日にちを1つずつ選んで和と差を考える問題の第2弾です。剰余類の発想を利用します。

カレンダーの日付けに関して,剰余類の発想に基づいて和分解を行う問題です。

1年間のカレンダーをつなげた状態で,剰余類について考える問題です。

12か月分をつなげたカレンダーにおいて,図のような枠で日付を囲む問題です。

12か月分をつなげたカレンダーに関する問題の第3弾です。

マヤ文明の歯車式カレンダーに着想を得た問題です。

よくある,切手の組み合わせによる剰余類の問題を,逆算問題にしてみました。

切手の組み合わせによって作ることができない金額について,剰余類に注目した表で解くことは一般的です。この問題では,その表におけるズレの動きに注目をします。

切手の組み合わせによって作ることができない金額を考える剰余類の問題の,発展問題です。

​小数の割り算における,商の桁数と余りに関する問題です。

小数の割り算と余り.png

2023を整数で割った商に関する問題です。

​時針・分針・秒針が正多角形の頂点になる条件に関する問題です。必要とされる考え方を鑑みて,速さではなく数の性質に入れました。

時計算と正多角形.png

かけ算の筆算を利用する虫食い算の問題です。

かけ算の筆算と虫食い算.png

虫食い算と場合の数の問題です。

素因数分解・数の範囲等を考えて場合分けを行う問題です。

割られる数・商・余りの積.png

1けたの整数どうしの積の大きさに関する問題です。

かけ算数.png

各位の数の間に+-×÷を入れて計算結果が最大となるようにする問題です。並び方によって最大値が異なる点に注意をします。

余り,余りの余り,余りの余りの余りについて分け入る数・規則の問題です。

分母7の分数を参考にして,分母21875の分数を小数で表す問題です。

分母が31の分数を循環小数に展開する問題です。

2020=2×2×5×101,2×2×5=20については1÷20=0.05,101は回文数であり1÷101=0.00990099…と,なかなかに整った数であると言えそうです。

2020に関する問題をいくつか作っていきます。

前回(2020の問題・1)の続きです。

2020は❛20❜を繰り返しています。このような「繰り返し数」に関する問題です。

2020を色々なN進法・位取りで表してみる問題です。

2020の色々な倍数について,約数の個数を考える問題です。

2024を整数倍した数の約数の個数に関する問題です。

2020の約数である101の倍数の,回文数を考える問題です。

以前に試行力問題で出題した,2020を並べた数列の1か所に+を入れた答えについて考える問題のハイレベル版です。

2020の各位の数を入れかえてできる数の和に関する問題です。

​よくある各位に並ぶ数を入れかえる問題をいろいろとアレンジします。

​数字のならび方に条件を入れた,けた入れ替えの問題です。

2けたごとの並びかえを行っても8の倍数のままであるような整数に関する問題です。

整数の各位の数を入れかえてできる整数の和が回文数になる条件について考える問題です。

343010に現れる2つの3は,それより下の位にある3より小さい数が3個になっています。ふつうの整数をこのような性質をもつ数に変換する手順に関する問題です。

数がその個数分だけ現れる整数に関する問題です。

有限小数の一番下の位について考える問題です。

各位の数の和が等しい小数の大小関係に関する問題です。開成中のあまり難しくない問題をイメージしています。

分子が2,分母が5の累乗数である分数を小数にしたときに並ぶ数に関する問題です。

奇数番目の多角数は,必ずその奇数の倍数となることを説明し,その性質を利用して問題を解いていきます。

偶数角数の偶数番目について,倍数の性質を考える問題です。

六角数を三角数と関係づけて,隣どうしの和を求める問題です。

三角数と平方数と立方数の関係を考える問題です。

定番すぎるものの外せない,2025が45×45という三角数の平方数であることと立方数の関係の問題です。

126で割ると96余る三角数について考える問題です。

黄金比によって生成されていく黄金長方形について,多角数の問題にしてみました。

図のように三角すい状にならべた点の数を多角数の文脈で考える問題です。

三角すいを構成する頂点の個数という多角数的な数と,かけ算九九の関係を考える問題です。

三角数と奇数平方数の関係を利用する問題です。

三角数と五角数に相当する階差数列の関係を利用しながら,どんな整数の倍数になるのかを考える問題です。

三角数について,3で割れる回数を考える問題です。理由を説明する設問もつけています。

​素数の三角数について説明をする,コンパクトな問題です。

整数をトーナメント状に三分割する問題です。桜蔭中2019年入試の3人トーナメントの問題に着想を得ています。

素因数分解と整数の範囲に関する問題です。

回文数が分布する頻度を,隣りあう回文数の差から考える問題です。

​整数部分-分子-分母をつなげると回文数になるような分数に関する栄光学園のような,パズル的問題です。

整数部分-分子-分母をつなげると回文数になる分数に関する問題です。

大きな水槽に小さな容器を複数回使って水を入れる問題です。実質的に数の性質の問題です。

連続する整数の和に関する問題です。